12.05.2012

Der Absolutbetrag

Von Alex Rubenbauer

In der Mathematik ordnet die Betragsfunktion einer reellen oder komplexen Zahl ihren Abstand zur Null zu. Dieser sogenannte absolute Betrag, Absolutwert oder auch schlicht Betrag ist immer eine nichtnegative reelle Zahl. Der Betrag einer Zahl x wird meist mit |x|, seltener mit abs(x), bezeichnet.

Um den Absolutbetrag zu verstehen, ist folgendes wichtig:

Der Absolutbetrag macht am Ende alles positiv.
Man sollte einen Zahlenstrahl vor dem inneren Auge haben, der einem verdeutlicht, dass z. B. -5 kleiner / negativer / weiter links als -3 ist, sonst kommt man durcheinander.

Ab dem Zeitpunkt ist alles eigentlich nur noch “Zeitaufwand” statt Hexenwerk:

Generell gilt:

|a| = a für a ≥ 0
|a| = -(a) für a < 0

Wenn keine Variable, z. B. “x”, vorkommt, gilt: |-a| = |a|

Im Folgenden eine Beispielrechnung:

Betrag für x > -4:

|x+4| = x+4 für x > -4

Beispiel mit positivem x:

|x+4| = x+4 = 5+4 = 9 für x > -4

Beispiel mit negativem x:

|x+4| = -3+4 = 1 für x > -4

Beachte: Ich konnte hier nicht bei der Zahl “5” bleiben wie im Beispiel darüber, weil -5 nicht größer als -4 ist, sondern kleiner. Die Anforderung ist aber “x > -4” (x muss größer sein als -4). Darum nehme ich die größere -3 (auf dem Zahlenstrahl weiter rechts).

Betrag für x = -4 (Ergebnis wird 0):

Beachte: Hier lassen sich nur x verwenden, die dazu führen, dass das Ergebnis exakt 0 wird.

|x+4| = x+4 = 0 für x = -4

Beispiel:

|x+4| = -(x+4) = x+4 = -(-4+4) = -4+4 = 4-4 = 0 für x = -4

Betrag für x < -4:

Beachte: Hier lassen sich nur x kleiner -4 einsetzen und keine positiven x, da das Ergebnis sonst negativ würde, was dem Sinn des Absolutbetrages widerspricht.

|x+4| = -(x+4) = -x-4 für x < -4

Beispiel:

|x+4| = -(-5+4) = -(-1) = 1 für x < -4

Wie man sieht: Das Ergebnis ist immer positiv geworden.

Wichtig: Das ist kein Faustschema.

Dieser Artikel dient nur der Verdeutlichung der Funktionsweise von Absolutbeträgen.

Wird zum Beispiel nach |x-3| gefragt, darf man andere Zahlen einsetzen:

|x-3| = x-3 für x ≥ 3
|x-3| = -(x-3) = -x+3 für x < 3

In diesem Fall darf man bis zu einem bestimmten Punkt nicht nur negative, sondern auch positive x verwenden, was man bei |x+4| für x < 4 nicht durfte.

Bei |x-3| für x < 3 ist also der Einsatz positiver Zahlen bis 2,999… möglich, allerdings nicht mehr die 3 selbst:

|x-3| = -(x-3) = -x+3 = -(2-3) = -2+3 = -(-1) = 1 für x < 3